Advertisement

Analogy and Invention Some Remarks on Poincaré’s Analysis Situs Papers

  • Claudio BartocciEmail author
Chapter
  • 198 Downloads
Part of the Logic, Epistemology, and the Unity of Science book series (LEUS, volume 43)

Abstract

The primary role played by analogy in Henri Poincaré’s work, and in particular in his “analysis situs” papers, is emphasized. Poincaré’s “sixth example” (showing that Betti numbers do not suffice to classify 3-manifolds) and his construction of the homology sphere are discussed in detail.

References

  1. Appell, P. (1925). Henri Poincaré. Paris: Plon.Google Scholar
  2. Bartocci, C. (1995). Introduzione. In H. Poincaré (Ed.), Geometria e caso. Scritti di matematica e fisica (pp. VII–L). Torino: Bollati Boringhieri (repr. 2013).Google Scholar
  3. Bellivier, A. (1956). Henri Poincaré ou la vocation souveraine. Paris: Gallimard.Google Scholar
  4. Betti, E. (1871). “Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni”, Annali di matematica pura e applicata, 2nd ser., 4, pp. 140–158. Also in Opere matematiche, vol. II, Hoepli, Milano, pp. 273–290.Google Scholar
  5. Birkhoff, G. D. (1913). “Proof of Poincaré’s last geometric theorem”, Transactions of the American Mathematical Society, 14(1913), pp. 14–22. Also in Collected Mathematical Papers, vol. I (pp. 673–811). Dover, New York.Google Scholar
  6. Bottazzini, U., & Gray, J. (2013), Hidden harmony – Geometric fantasies. The rise of complex function theory. New York: Springer.Google Scholar
  7. Cartan, É. (1928). Sur le nombres de Betti des espaces de groupes clos. Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 187, 196–198.Google Scholar
  8. Clebsch, A. (1864). Über die Anwendung der Abelschen Functionen in der Geometrie. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 63, 189–243.CrossRefGoogle Scholar
  9. Clifford, W. K. (1877). On the canonical form and dissection of a Riemann’s surface. Proceedings of the London Mathematical Society, 8, 292–304. Also in R. Tucker (Ed.), Mathematical papers (pp. 241–254). Macmillan, London 1882 (repr. AMS Chelsea Publishing, Providence (RI) 2007).Google Scholar
  10. De Rham, G. (1931) Sur l’analysis situs de variétés à n dimensions. Journal de mathématiques pures et appliquées, 9th ser., 10, 115–200.Google Scholar
  11. Dieudonné, J. (1989). A history of algebraic and differential topology. Basel-Boston: Birkhäuser.Google Scholar
  12. Donaldson, S. K. (1999). One hundred years of manifolds topology. In I. M. James (Ed.), History of Topology (pp. 435–447). Amsterdam: Elsevier.CrossRefGoogle Scholar
  13. Dyck, W. F. A. (1885) On the ‘Analysis situs’ of threedimensional spaces. Report of the fifty-fourth meeting of the British association for the advancement of science held at montreal in August and September 1884, John Murray, London, p. 648.Google Scholar
  14. Golé, C., & Hall, G.R. (1992). Poincaré’s proof of Poincaré’s last geometric theorem. In R. McGehee & K. R. Meyers (Eds.), Twist mappings and their applications (pp. 135–151). New York: Springer.CrossRefGoogle Scholar
  15. Gordon, C. M. A. (1999). 3-dimensional topology. In I. M. James (Ed.), History of topology (pp. 449–489). Amsterdam: Elsevier.CrossRefGoogle Scholar
  16. Gray, J. (2013). Henri Poincaré: A scientific biography. Princeton (NJ) and London: Princeton University Press.Google Scholar
  17. Hamilton, W. R. (1856a). Memorandum respecting a new system of roots of unity. The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4th ser., 12, 446.Google Scholar
  18. Hamilton, W. R. (1856b). Account of the icosian calculus. Proceedings of the Royal Irish Academy, 6(1858), 415–416.Google Scholar
  19. Heegaard, P. (1898). Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhaeng, Det Nordiske Forlag, København (French translation revised by the author, “Sur l’‘Analysis situs’”, Bulletin de la Société mathématique de France, 44(1916), 161–242).Google Scholar
  20. Hirsch, M. W. (1976). Differential topology. New York: Springer.CrossRefGoogle Scholar
  21. Hurwitz, A. (1893). Über algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich. Mathematische Annalen 41, 403–442. Also in Mathematische Werke, herausgegeben von der Abteilung fur Mathematik und Physik der eidgenossischen technischen Hochschule in Zurich, vol. 1, Birkhäuser, Basel 1932 (repr.1962), pp. 391–430.Google Scholar
  22. Jordan, C. (1866). “Des contours tracés sur les surfaces”, Journal de mathématiques pures et appliquées, 2nd ser., 11, 110–130.Google Scholar
  23. Kervaire, M. A. (1969). Smooth homology spheres and their fundamental groups. Transactions of the American Mathematical Society, 144, 67–72.CrossRefGoogle Scholar
  24. Kirby, R. C., & Scharlemann, M. G. (1979) Eight faces of the Poincaré homology sphere. In J. C. Cantrell (Ed.), Geometric topology. Proceedings of the 1977 Georgia Topology Conference (pp. 113–146). New York: Academic Press.Google Scholar
  25. Klein, F. (1884). Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Leipzig: Teubner.Google Scholar
  26. Lagrange, J. –L. (1788). Méchanique analytique, Chez la veuve Desaint, Paris.Google Scholar
  27. Lakatos, I. (1976). Proofs and refutations. In J. Worrall & E. Zahar (Eds.), The logic of mathematical discovery. Cambridge: Cambridge University Press.Google Scholar
  28. Le livre du centenaire de la naissance de Henri Poincaré, 1854–1954, Gauthier-Villars, Paris (1955).Google Scholar
  29. Milnor, J. (1969). Morse Theory, based on lectures notes by M. Spivak and R. Wells. Princeton (NJ): Princeton University Press.Google Scholar
  30. Möbius, A. F. (1863). “Theorie der elementaren Verwandtschaften”, Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Classe, 17, pp. 31–68. Also in Gesammelte Werke, vol. II, herausgegeben von F. Klein, Hirzel, Leipzig 1886, pp. 433–471.Google Scholar
  31. Picard, É., & Simart, G. (1897). Théorie des fonctions algébriques de deux variables complexes, tome I. Paris: Gauthier-Villars.Google Scholar
  32. Poincaré, H. (1881). Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (première partie). Journal de mathématiques pures et appliquées, 3rd ser., 7, 375–422. Also in Œuvres, vol. I, pp. 3–44.Google Scholar
  33. Poincaré. (1881). “Sur les courbes définies par une équation différentielle”, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 93, 951–952. Also in Œuvres, vol. I, pp. 85–85.Google Scholar
  34. Poincaré. (1882a). Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (deuxième partie). Journal de mathématiques pures et appliquées, 3rd ser., 8, 251–296. Also in Œuvres, vol. I, pp. 44–84.Google Scholar
  35. Poincaré. (1882b). Théorie des groupes fuchsiens. Acta Mathematica, 1, 1–62. Also in Œuvres, vol. II, pp. 108–168.Google Scholar
  36. Poincaré. (1885). Sur les courbes définies par les équations différentielles (première partie). Journal de mathématiques pures et appliquées, 4th ser., 1, 167–244. Also in Œuvres, vol. I, pp. 90–161.Google Scholar
  37. Poincaré. (1886). Sur les courbes définies par les équations différentielles (deuxième partie). Journal de mathématiques pures et appliquées, 4th ser., 2, 151–217. Also in Œuvres, vol. I, pp. 167–222.Google Scholar
  38. Poincaré. (1887). Sur les résidus des intégrales doubles. Acta Mathematica, 9, 321–380. Also in Œuvres, vol. III, pp. 440–489.Google Scholar
  39. Poincaré. (1892a). Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Tome I. Solutions périodiques – Non-existence des intégrales uniformes –Solutions asymptotiques, Gauthier-Villars, Paris.Google Scholar
  40. Poincaré. (1892b). Les formes d’équilibre d’une masse fluide en rotation. Revue générale des sciences pures et appliquées, 3, 809–815. Also in Œuvres, vol. VII, pp. 529–537.Google Scholar
  41. Poincaré. (1892c). Sur l’analysis situs. Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 115, 603–606. Also in Œuvres, vol. VI, pp. 189–192.Google Scholar
  42. Poincaré, (1893). Le continu mathématique. Revue de métaphysique et de morale, 1, 26–34.Google Scholar
  43. Poincaré. (1895). Analysis situs. Journal de l’École Polytechnique, 1, 1–121. Also in Œuvres, vol. VI, pp. 193–288.Google Scholar
  44. Poincaré. (1899a). Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Tome III. Invariants intégraux – Solutions périodiques de deuxième genre – Solutions doublements asymptotiques, Gauthier-Villars, Paris.Google Scholar
  45. Poincaré. (1899b). Sur l’équilibre d’un fluide en rotation. Bulletin astronomique, 16, 161–169. Also in Œuvres, vol. VII, pp. 151–158.Google Scholar
  46. Poincaré. (1899c). Sur les nombres de Betti. Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 128, 629–630. Also in Œuvres, vol. VI, p. 289.Google Scholar
  47. Poincaré. (1899d). Complément à l’‘analysis situs’. Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13, 285–343. Also in Œuvres, vol. VI, pp. 290–337.Google Scholar
  48. Poincaré. (1900). Second complement à l’‘analysis situs’. Proceedings of the London Mathematical Society, 32, 277–308. Also in Œuvres, vol. VI, pp. 338–370.Google Scholar
  49. Poincaré. (1901a). Sur la stabilité de l’équilibre des figures piriformes affectées par une masse fluide en rotation. Philosophical Transactions, 198 A, 333–373. Also in Œuvres, vol. VII, pp. 161–162.Google Scholar
  50. Poincaré. (1901b). Sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques. Journal de mathématiques pures et appliquées, 5th ser., 7, 161–233. Also in Œuvres, vol. V, pp. 483–550.Google Scholar
  51. Poincaré. (1902a). Sur certaines surfaces algébriques. Troisième complément à l’‘analysis situs’. Bulletin de la Société mathématique de France, 30, 49–70. Also in Œuvres, vol. VI, pp. 373–392.Google Scholar
  52. Poincaré. (1902b). Sur les cycles des surfaces algébriques. Quatrième complément à l’‘analysis situs’. Journal de mathématiques pures et appliquées, 5th ser., 8, 169–214. Also in Œuvres, vol. VI, pp. 397–434.Google Scholar
  53. Poincaré. (1902c). La science et l’hypothèse, préface de Jules Vuillemin, Flammarion, Paris.Google Scholar
  54. Poincaré. (1904a). Cinquième complément à l’‘analysis situs’. Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 18, 45–110. Also in Œuvres, vol. VI, pp. 435–498.Google Scholar
  55. Poincaré. (1904b). La valeur de la science, préface de Jules Vuillemin, Flammarion, Paris.Google Scholar
  56. Poincaré. (1905). Science and Hypothesis (W. J. G., with a preface by J. Larmor, Trans.). The Walter Scott Publishing Co., London & Newcastle-on-Tyne.Google Scholar
  57. Poincaré. (1908). Science et méthode. Paris: Flammarion.Google Scholar
  58. Poincaré. (1909). “L’avenir des mathématiques”, in Atti del IV Congresso internazionale dei matematici, a cura di G. Castelnuovo, Tipografia della Reale Accademia dei Lincei, Roma, pp. 167–182 (also in Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 16(1908), pp. 152–168; Revue générale des sciences pures et appliquées, 19(1909), pp. 930–939; Scientia. Rivista di scienza, 2nd year, 3(1908), pp. 1–23; Bulletin des sciences mathématiques, 2nd ser., 32(1908), pp. 168–190).Google Scholar
  59. Poincaré. (1912). Sur un théorème de géométrie. Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 33, 375–407. Also in Œuvres, vol. VI, pp. 499–538.Google Scholar
  60. Poincaré. (1958). The value of science, (G. B. Halsted Trans.). Dover, New York (orig. publ. in 1913 by Science Press in Foundations of Science).Google Scholar
  61. Poincaré. (1914). Science and Method (Francis Maitland, with a preface by B. Russell Trans.). London, Edinburgh, Dublin & New York: Thomas Nelson and Sons (repr. Thoemmes Press, Bristol 1996).Google Scholar
  62. Poincaré. (1916–1956). Œuvres, 11 vv., various eds., Gauthier-Villars, Paris.Google Scholar
  63. Poincaré. (1921). Analyse de ses travaux scientifiques faite par H. Poincaré. Acta Mathematica, 38, 36–135.Google Scholar
  64. Poincaré. (1997). Trois suppléments sur la découverte des fonctions fuchsiennes, J. Gray and S. A. Walters (Eds.). Berlin: Akademie Verlag & Paris: Albert Blanchard.Google Scholar
  65. Pont, J.-C. (1974). La topologie algébrique des origines à Poincaré. Paris: Presses Universitaires de France.Google Scholar
  66. Riemann, B. (1857). Theorie der Abel’schen Functionen. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 54, 115–155. Also in Gesammelte Mathematische Werke…, pp. 88–142.Google Scholar
  67. Riemann, B. (1990). Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftlicher Nachlass und Nachträge/Collected Papers, nach der Ausgabe von H. Weber und R Dedekind, neu herausgegeben von Raghavan Narasimhan, Springer, Berlin-Heidelberg – Teubner, Leipzig (repr. 2014).Google Scholar
  68. Rourke, C. (2008). La congettura di Poincaré. In C. Bartocci (Ed.) La matematica. II. Problemi e teoremi (pp. 731–763). Einaudi, Torino.Google Scholar
  69. Sakaria, K. S. (1999). The topological work of Henri Poincaré. In I. M. James (Ed.), History of topology (pp. 121–167). Amsterdam: Elsevier.Google Scholar
  70. Saviliev, N. (2002). Invariants for homology 3-spheres. Encyclopedia of mathematical sciences, vol. 140. Berlin-Heidelberg: Springer.Google Scholar
  71. Scholz, E. (1980). Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriffs von Riemann bis Poincaré. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser.Google Scholar
  72. Stillwell, J. (2012). Poincaré and the early history of 3-manifolds. Bulletin of the American Mathematical Society, new ser., 49, 555–576.Google Scholar
  73. Toulouse, É. (1910). Enquête médico-psychologique sur la superiorité intellectuelle: Henri Poincaré. Paris: Flammarion.Google Scholar
  74. Volkert, K. (2002). Das Homöomorphismusproblem insbesondere der 3-Mannigfaltigkeiten, in der Topologie 1892-1935, Kimé, Paris.Google Scholar
  75. Whitehead, J. H. C. (1940). On C1-complexes. Annals of Mathematics, 2nd ser., 41, 809–824.Google Scholar

Copyright information

© Springer International Publishing AG, part of Springer Nature 2018

Authors and Affiliations

  1. 1.Università di GenovaGenovaItaly

Personalised recommendations