Reflection groups

On pre-Hjelmslevgroups and related topics
  • Frieder Knüppel
Part of the NATO ASI Series book series (ASIC, volume 333)


First we compile some basic notions and theorems on pre-Hjelmslevgroups. A construction of Hjelmslevgroups over local rings is given. We discuss the neighbour relation in a pre-Hjelmslevgroup and prove two theorems on Hjelmslev homomorphisms. Our introduction of coordinates requires two fundamental tools: pseudo-planes and semirotation planes. Finally, we study symmetries in orthogonal groups over full rings.


Local Ring Commutative Ring Orthogonal Group Hyperbolic Plane Symmetric Bilinear Form 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.


Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.


  1. 1.
    E. Artin: Geometric Algebra, Interscience 1957.Google Scholar
  2. 2.
    F. Bachmann: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. First ed. Springer 1959, second supplemented ed. Springer 1973.Google Scholar
  3. 3.
    F. Bachmann: Ebene Spiegelungsgeometrie, B.I.-Wissenschaftsverlag Mannheim, Wien, Zürich 1989.zbMATHGoogle Scholar
  4. 4.
    W. Benz: Ebene Geometrie über einem Ring, Math. Nachr. 59 (1974), 163–193.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  5. 5.
    G. Ewald: Spiegelungsgeometrische Kennzeichnung euklidischer und nichteuklidischer Räume beliegiger Dimension. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 41 (1974), 224–251.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  6. 6.
    A. J. Hahn and O. T. O’Meara: The classical groups and K-theory, Springer 1989Google Scholar
  7. 7.
    G. Heimbeck: Konstruktion des Idealraumes in der absoluten Geometrie. Mathematische Institute Würzburg, Preprint Nr. 28 (1977).Google Scholar
  8. 8.
    J. Hjelmslev: Neue Begründung der ebenen Geometrie, Math. Ann. 64 (1907), 449–474.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  9. 9.
    J. Hjelmslev: Einleitung in die allgemeine Kongruenzlehre. Danske Vid. Selsk., mat.-fys. Medd. 8 Nr. 11 (1929); 10, Nr. 1 (1929); 19 Nr. 12 (1942); 22 Nr. 6 (1945); 22 Nr. 13 (1945); 25 Nr. 10 (1949).Google Scholar
  10. 10.
    H. Kinder: Begründung der n-dimensionalen absoluten Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. Diss. Kiel 1965.Google Scholar
  11. 11.
    W. Klingenberg: Euklidische Ebenen mit Nachbarelementen, Math. Z. 61 (1954), 1–25.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  12. 12.
    F. Knüppel and M. Kunze: Neighbor relation and neighbor homomorphism of Hjelmslevgroups. Can. J. Math. 31 (1979), 680–699.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  13. 13.
    F. Knüppel: Äquiforme Ebenen über kommutativen Ringen und singuläre Prä-Hjelmslevgruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 53 (1983), 229–257.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  14. 14.
    F. Knüppel: A class of homomorphisms of pre-Hjelmslev groups, Canad. J. of Math. 36(3) (1984) 470–494.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  15. 15.
    F. Knüppel and E. Salow: Plane elliptic geometry over rings, Pacific J. of Math. 123(2) (1986), 337–384.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  16. 16.
    R. Lingenberg: Euklidische Pseudoebene über einer metrischen Ebene. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 22 (1958), 114–130.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  17. 17.
    R. Lingenberg: Metric planes and metric vector spaces. Wiley 1979.Google Scholar
  18. 18.
    B. R. McDonald and B. Hershberger: The orthogonal group over a full ring, J. of Algebra 51 (1978), 336–549.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  19. 19.
    A. Micali and Ph. Revoy: Modules quadratiques, Bulletin de la Soc. Math. de France, No. 63 (1979).Google Scholar
  20. 20.
    W. Nolte: Hjelmslev Gruppen mit Nachbarhomomorphismus. To appear in Geom. Ded.Google Scholar
  21. 21.
    E. Salow: Singuläre Hjelmslev-Gruppen, Geom. Ded. 1 (1973), 447–467.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  22. 22.
    E. Salow: Fixpunktmengen von Drehungen in Hjelmslev-Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 41 (1974), 37–73.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  23. 23.
    E. Salow: Einbettung von Hjelmslev-Gruppen in orthogonale Gruppen über kommutativen Ringen, Math. Z. 134 (1973), 143–170.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  24. 24.
    E. Salow: Verallgemeinerte Halbdrehungsebenen, Geom. Ded. 13 (1982), 67–85.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  25. 25.
    E. Salow: Endliche Prä-Hjelmslev-Gruppen, Math. Z. 159 (1978) 215–233.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  26. 26.
    E. M. Schröder: Modelle ebener metrischer Ringgeometrien, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 48 (1979), 139–170.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  27. 27.
    F. Veldkamp: Projective planes over rings of stable rank 2, Geom. Ded. 11 (1981), 285–308.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer Science+Business Media Dordrecht 1991

Authors and Affiliations

  • Frieder Knüppel
    • 1
  1. 1.Mathematisches Seminar der Universität23 KielGermany

Personalised recommendations